高级计量经济学 17：面板二值选择模型

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此文内容为《高级计量经济学及STATA应用》的笔记，陈强老师著，高等教育出版社出版。

我只将个人会用到的知识作了笔记，并对教材较难理解的部分做了进一步阐述。为了更易于理解，我还对教材上的一些部分（ 包括证明和正文 ）做了修改。

对于面板数据，如果被解释变量为虚拟变量，则称为面板二值选择模型（binary choice model for panel data）。对于二值选择行为，通常可以通过一个潜变量（latent variable）来概括该行为的净收益（收益减去成本）。如果净收益大于0，则选择做；否则选择不做。假设净收益为：

其中，净收益为不可观测的潜变量，为个体效应（individual effects），而解释变量不含常数项。个体的选择规则为：

给定，，，则有：

其中，为误差项的累积分布函数（cdf），并假设的密度函数关于原点对称。如果则为 Probit 模型：

如果服从逻辑分布，则为 Logit 模型：

面板二值选择模型主要估计方法包括：

在方程中，如果，即没有个体效应，则为混合回归（pooled probit or pooled logit），可将此面板数据作为横截面数据处理（参考《高级计量16》），此时，只需要使用截面数据的相关 Stata 命令即可进行混合回归。然而，由于同一个体不同时期的扰动项可能存在自相关，故应使用以面板为聚类的聚类稳健标准误（cluster-robust standard error）。

更一般地，我们允许个体效应存在，即不同的个体拥有不同的。如果与所有解释变量均不相关，则称为随机效应模型（Random Effect Model, RE, 见《高级计量16》）；否则为固定效应模型（Fixed Effect Model, FE）。

首先考虑 RE 模型。对于线性面板的 RE 模型，一般使用广义最小二乘法（GLS）进行估计。但 非线性面板不便使用GLS ，故转而使用最大似然估计（MLE）。假设，记密度函数为。以 Logit 模型为例，给定，则个体的条件分布为（参考《高级计量14》）：

然而，上式的不可观测，为此，记的联合密度为，并进行如下分解：

在的联合密度重，将积分去掉，即可得到的边缘密度：

上面的积分没有解析解，可以通过数值求解的方法求解，这里就不再叙述了。

假设不同个体的观测值相互独立，则可以写出整个样本的似然函数。最大化此似然函数即得到的 RE Logit 估计量。如果将上述方程的逻辑分布改为正态分，那么就是 RE Probit 估计量。由于不同个体的观测值相互独立，故不同个体的扰动项也不相关，但由于的存在，同一个体不同时期的扰动项之间仍存在相关：

如果，那么自相关系数为：

如果越大，就表示复合扰动项中个体效应的部分比较大，不能忽视个体效应；极端地，如果，就表示复合扰动项中，个体效应接近没有，故应该使用混合回归模型。

在面板二值选择模型中，如果个体效应与解释变量相关，那么就是 FE 模型，

其中，可以是或者。此时，如果使用 RE 模型或混合回归则得不到一致估计。

在线性面板模型中，可以通过组内变换或差分变换解决伴生参数问题，但对于固定效应的面板 Probit 模型，目前尚无法解决此类伴生参数问题。

对于固定效应的面板 Logit 模型，可以通过寻找的充分统计量（sufficient statistic），然后在给定此充分统计量的条件下进行条件最大似然估计（conditional MLE）。