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原函数是对于一个定义在某区间的已知函数f(x)，如果存在可导函数F(x) ，使得在该区间内的任一点都存在dF(x)=f(x)dx ，则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数 。
一般地，设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间y'>0 ，那么函数y=f(x)在这个区间上为增函数：如果在这个区间y'<0 ，那么函数y=f(x)在这个区间上为减函数；如果在这个区间y'=0，那么函数y=f(x)在这个区间上为常数函数 。
扩展资料：
函数在定义域中一点可导需要一定的条件是：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。这实际上是按照极限存在的一个充要条件（极限存在它的左右极限存在且相等）推导而来 。
例如：f(x)=|x|在x=0处虽连续 ，但不可导（左导数-1 ，右导数1）；上式中，后两个式子可以定义为函数在x0处的左右导数：左导数：f(x-)=-1；右导数：f(x-)=1 。
若函数f(x)在某区间上连续 ，则f(x)在该区间内必存在原函数 ，这是一个充分而不必要条件，也称为“原函数存在定理 ”。函数族F(x)+C(C为任一个常数）中的任一个函数一定是f(x)的原函数 ，故若函数f(x)有原函数 ，那么其原函数为无穷多个。
都是典型的微分方程形式.
1.典型的齐次方程,令y=f(x),那么有y'=3y?,这种方程的特点是对称,可通过恒等变形的形式,将x和y分离.
我们有:dy/dx=3y?,于是dy/3y?=dx,两边同时积分
∫dy/3y?=∫dx
那么x=-1/3y,变形得:y=f(x)=-1/(3x+c)
2.这是一个一阶线性微分方程,且系数为常系数.这种方程的通式为:
dy/dx+P(x)y=Q(x),其中P(x),Q(x)是有关x的方程,下面说说这种方程的解法.
(1)假设Q(x)=0,那么有dy/dx=-P(x)
这个方程的形式就是上面所说的齐次方程,可以解得:
ln|y|=-∫P(x)dx+C1
于是:y=Cexp{-∫P(x)dx},其中C=±e^C1,exp{}表示e的{}次幂
(2)由前面的分析,y=Cexp{-∫P(x)dx},我们将常数C换成一个关于x的函数u(x),并令u=u(x)
那么y=uexp{-∫P(x)dx},此时dy/dx=u'exp{-∫P(x)dx}-uP(x)exp{-∫P(x)dx}
对于dy/dx+P(x)y=Q(x),有:
u'exp{-∫P(x)dx}-uP(x)exp{-∫P(x)dx}+P(x)uexp{-∫P(x)dx}=Q(x)
即:u'exp{-∫P(x)dx}=Q(x),u'=Q(x)exp{∫P(x)dx},
两边积分:u=∫Q(x)exp{∫P(x)dx}dx+C
所以:y=exp{-∫P(x)dx}[∫Q(x)exp{∫P(x)dx}+C]=Cexp{-∫P(x)dx}+exp{-∫P(x)dx}∫Q(x)exp{∫P(x)dx}
上式即为答案.式中,前半部分为(1)的解,称为通解;后半部分称为特解.
对于本题,你可以直接代入结论来求,当然也有特殊的方法.因为通解是很容易求的,只要令Q(x)=0,就是一个典型的齐次方程,分离变量后两边积分就可以了,但特解是很难求的.其实对于特解,是有一种简便的方法可求的,即D=d/dx的形式,这些说起原理就长了..
求特解:
针对多项式的方程f(x)=ax^m+bx^(m-1)+...+cx+d
令D=d/dx,可知特解为y={1/F(D)}*[ax^m+bx^(m-1)+...+cx+d]
例:求2y''-y'+3y=e^2x的特解.
令D=d/dx,于是y''=D²,y'=D,有:(2D²-D+3)y=e^2x
特解为y=[1/(2D²-D+3)]*e^2x
针对幂函数,我们直接令幂函数的指数为D,即令e^2x的指数2为D,可得特解y=1/9*e^2x
因此本题,特解求法:(D-1)y=e^x,y=1/(D-1)e^x.令D=1.(有这么一个规定,若代入后,分母为0,那么就对分母求导,且在分子上加一个x),那么:
y=x/(-1)e^x=-xe^x
通解:y'=y,有dy/y=dx,有x=ln|y|,y=±e^x
方程的解为特解与通解之和,那么y=-xe^x±e^x=e^x(x+C)
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