简述三次数学危机的内容及解决情况.

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第一次数学危机

从某种意义上来讲 ，现代意义下的数学（也就是作为演绎系统的纯粹数学）来源于古希腊的毕达哥拉斯学派 。这个学派兴旺的时期为公元前500年左右，它是一个唯心主义流派
。他们重视自然及社会中不变因素的研究
，把几何、算术 、天文学
、音乐称为“四艺
”，在其中追求宇宙的和谐及规律性。他们认为“万物皆数” ，认为数学的知识是可靠的、准确的
，而且可以应用于现实的世界 。数学的知识是由于纯粹的思维而获得，并不需要观察 、直觉及日常经验。

毕达哥拉斯的数是指整数 ，他们在数学上的一项重大发现是证明了勾股定理
。他们知道满足直角三角形三边长的一般公式
，但由此也发现了一些直角三角形的三边比不能用整数来表达，也就是勾长或股长与弦长是不可通约的。这样一来 ，就否定了毕达哥拉斯学派的信条：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比 。

　不可通约性的发现引起第一次数学危机
。有人说
，这种性质是希帕索斯约在公元前400年发现的，为此 ，他的同伴把他抛进大海。不过更有可能是毕达哥拉斯已经知道这种事实
，而希帕索斯因泄密而被处死 。不管怎样，这个发现对古希腊的数学观点有极大的冲击
。这表明 ，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示
，反之数却可以由几何量表示出来。整数的尊崇地位受到挑战，于是几何学开始在希腊数学中占有特殊地位 。

同时这也反映出 ，直觉和经验不一定靠得住
，而推理证明才是可靠的
。从此希腊人开始由“自明的 ”公理出发，经过演绎推理 ，并由此建立几何学体系
，这不能不说是数学思想上一次巨大革命，这也是第一次数学危机的自然产物。

　回顾以前的各种数学 ，无非都是“算”
，也就是提供算法 。即使在古希腊，数学也是从实际出发 ，应用到实际问题中去的
。比如泰勒斯预测日食
，利用影子距离计算金字塔高度，测量船只离岸距离等等 ，都是属于计算技术范围的。至于埃及、巴比伦
、中国、印度等国的数学，并没有经历过这样的危机和革命
，所以也就一直停留在“算学
”阶段 。而希腊数学则走向了完全不同的道路，形成了欧几里得《几何原本》的公理体系与亚里士多德的逻辑体系。

第二次数学危机

早在古代 ，人们就对长度 、面积
、体积的度量问题感兴趣
。古希腊的欧多克斯引入量的观念来考虑连续变动的东西
，并完全依据几何来严格处理连续量。这造成数与量的长期脱离 。古希腊的数学中除了整数之外，并没有无理数的概念 ，连有理数的运算也没有
，可是却有量的比例
。他们对于连续与离散的关系很有兴趣，尤其是芝诺提出的四个著名的悖论：

　第一个悖论是说运动不存在 ，理由是运动物体到达目的地之前必须到达半路
，而到达半路之前又必须到达半路的半路……如此下去，它必须通过无限多个点 ，这在有限长时间之内是无法办到的。

第二个悖论是跑得很快的阿希里赶不上在他前面的乌龟 。因为乌龟在他前面时
，他必须首先到达乌龟的起点，然后用第一个悖论的逻辑 ，乌龟者在他的前面
。这两个悖论是反对空间、时间无限可分的观点的。

　而第三 、第四悖论是反对空间
、时间由不可分的间隔组成 。第三个悖论是说“飞矢不动”，因为在某一时问间隔
，飞矢总是在某个空间间隔中确定的位置上，因而是静止的
。第四个悖论是游行队伍悖论 ，内容大体相似。这说明希腊人已经看到无穷小与“很小很小 ”的矛盾 。当然他们无法解决这些矛盾
。

　希腊人虽然没有明确的极限概念
，但他们在处理面积体积的问题时，却有严格的逼近步骤 ，这就是所谓“穷竭法
”。它依靠间接的证明方法
，证明了许多重要而难证的定理 。

　到了十六、十七世纪，除了求曲线长度和曲线所包围的面积等类问题外 ，还产生了许多新问题
，如求速度 、求切线，以及求极大
、极小值等问题。经过许多人多年的努力 ，终于在十七世纪晚期
，形成了无穷小演算——微积分这门学科，这也就是数学分析的开端
。

牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者。他们的功绩主要在于：1 ，把各种问题的解法统一成一种方法，微分法和积分法；2
，有明确的计算微分法的步骤；3．微分法和积分法互为逆运算 。

由于运算的完整性和应用范围的广泛性，使微积分成为解决问题的重要工具
。同时关于微积分基础的问题也越来越严重。以求速度为例 ，瞬时速度是Δs/Δt当Δt趋向于零时的值 。Δt是零、是很小的量
，还是什么东西，这个无穷小量究竟是不是零
。这引起了极大的争论 ，从而引发了第二次数学危机。

　十八世纪的数学家成功地用微积分解决了许多实际问题
，因此有些人就对这些基础问题的讨论不感兴趣 。如达朗贝尔就说，现在是“把房子盖得更高些 ，而不是把基础打得更加牢固”
。更有许多人认为所谓的严密化就是烦琐。

　但也因此
，微积分的基础问题一直受到一些人的批判和攻击，其中最有名的是贝克莱主教在1734年的攻击 。

十八世纪的数学思想的确是不严密的 、直观的
、强调形式的计算 ，而不管基础的可靠与否
，其中特别是：没有清楚的无穷小概念，因此导数、微分 、积分等概念不清楚；对无穷大的概念也不清楚；发散级数求和的任意性；符号使用的不严格性；不考虑连续性就进行微分 ，不考虑导数及积分的存在性以及可否展成幂级数等等
。

　一直到十九世纪二十年代，一些数学家才开始比较关注于微积分的严格基础。它们从波尔查诺、阿贝尔
、柯西、狄里克莱等人的工作开始
，最终由威尔斯特拉斯 、戴德金和康托尔彻底完成，中间经历了半个多世纪 ，基本上解决了矛盾
，为数学分析奠定了一个严格的基础 。

波尔查诺不承认无穷小数和无穷大数的存在，而且给出了连续性的正确定义。柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量开始 ，认识到函数不一定要有解析表达式
。他抓住了极限的概念
，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，并定义了导数和积分；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；狄里克莱给出了函数的现代定义。

　在这些数学工作的基础上 ，维尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方
，给出现在通用的ε - δ的极限
、连续定义，并把导数、积分等概念都严格地建立在极限的基础上 ，从而克服了危机和矛盾 。

十九世纪七十年代初
，威尔斯特拉斯 、戴德金
、康托尔等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上 ，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析终于建立在实数理论的严格基础之上了
。

同时
，威尔斯特拉斯给出一个处处不可微的连续函数的例子。这个发现以及后来许多病态函数的例子，充分说明了直观及几何的思考不可靠 ，而必须诉诸严格的概念及推理 。由此
，第二次数学危机使数学更深入地探讨数学分析的基础——实数论的问题
。这不仅导致集合论的诞生，并且由此把数学分析的无矛盾性问题归结为实数论的无矛盾性问题 ，而这正是二十世纪数学基础中的首要问题。

1-6悖论的产生——第三次数学危机

数学史上的第三次危机
，是由1897年的突然冲击而出现的，到现在 ，从整体来看
，还没有解决到令人满意的程度 。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的
。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础 ，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。

1897年
，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论 。两年后，康托发现了很相似的悖论
。1902年 ，罗素又发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。罗素悖论曾被以多种形式通俗化 。其中最著名的是罗素于1919年给出的
，它涉及到某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且 ，只给村里这样的人刮脸
。当人们试图回答下列疑问时
，就认识到了这种情况的悖论性质："理发师是否自己给自己刮脸？"如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸 ，那么他就不符合他的原则。　

罗素悖论使整个数学大厦动摇了 。无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后
，在他刚要出版的《算术的基本法则》第2卷末尾写道："一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时 ，它的基础垮掉了
，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地"
。于是终结了近12年的刻苦钻研。

　承认无穷集合 ，承认无穷基数
，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质 。尽管悖论可以消除 ，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失
。现代公理集合论的大堆公理
，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉 ，它们跟整个数学是血肉相连的。所以
，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着 。

数学史上会出现第四次危机吗？如果有会是什么呢？

有3次危机的说法
。第一次是古希腊人 ，如芝诺的一些悖论和无理数的发现
，是由欧多克索斯用穷竭法这种间接方法避开的，可以说还直到19世纪中叶还没有真正解决。

第二次是微积分发明后 ，关于无穷小的争论
，是由柯西、波尔查诺 、魏尔斯特拉斯等人最终用epsilon-delta语言解决的 。

第三次是康托的集合论建立后，人们发现一批悖论 ，最有名的是罗素悖论
，是由策梅罗等人用公理化集合论解决的
。但公理集合论本身的相容问题还没有得到解决，特别是选择公理和连续统假设。

这三次危机的根本缘由都是一样的 ，即关于无穷的认识，它们对数学的发展产生了很大影响
，促使新的基础的建立 。其他科目当然也有危机，比如物理学19世纪末的以太和黑体辐射都是经典物理无法解释的 ，对它们的研究导致了20世纪物理学的革命。

这个很难说
。因为未来的事谁也不能肯定。但有一点是必然的
，那就是数学发展下去，必然会出现许多新的有待解决的问题 ，在解决这些问题时
，如果发现某些逻辑事实与数学上公认的一些公理或定理存在矛盾的话，就可能产生新的数学思想或理念 ，由此
，如果各学派间存在不同观点的话，危机就产生了 。但现在 ，就我个人看
，不会出现如此之大的问题
。出点小问题是有可能的。至于具体会出何问题，谁都说不好 。如今数学的范围大得不得了 ，数学全才已经没有了
。

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